Bài tự luận · Bài 27
DẠNG 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 27
(CD10) Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) $ d_{ 1 } :3x+2y-5=0 $ và $ d_{ 2 } :x-4y+1=0 $;
b) $ d_{ 3 } :x-2y+3=0 $ và $ d_{ 4 } :-2x+4y+10=0 $;
c) $ d_{ 5 } :4x+2y-3=0 $ và $ d_{ 6 } :\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 2 }+t \\ y=\frac { 5 } { 2 }-2t \\ \end{array} \end{array} \right. $
a) $ d_{ 1 } :3x+2y-5=0 $ và $ d_{ 2 } :x-4y+1=0 $;
b) $ d_{ 3 } :x-2y+3=0 $ và $ d_{ 4 } :-2x+4y+10=0 $;
c) $ d_{ 5 } :4x+2y-3=0 $ và $ d_{ 6 } :\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 2 }+t \\ y=\frac { 5 } { 2 }-2t \\ \end{array} \end{array} \right. $
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
a) $ d_{ 1 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 1 } =(-2;3),d_{ 2 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 2 } =(4;1) $. Do $ \frac { -2 } { 4 }\neq \frac { 3 } { 1 } $ nên $ u_{ 1 } ,u_{ 2 } $ không cùng phương, suy ra $ d_{ 1 } $ cắt $ d_{ 2 } $.
b) $ d_{ 3 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 3 } =(2;1) $, $ d_{ 4 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 4 } =(-4;-2) $. Suy ra $ u_{ 3 } =-\frac { 1 } { 2 }u_{ 4 } $. Chọn điểm $ M(-1;1)\in d_{ 3 } $. Do $ M(-1;1)\notin d_{ 4 } $ suy ra $ d_{ 3 } $ song song với $ d_{ 4 } $.
c) $ d_{ 5 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 5 } =(-2;4),d_{ 6 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 6 } =(1;-2) $. Suy ra $ u_{ 5 } =-2u_{ 6 } $. Chọn điểm $ N\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right )\in d_{ 6 } $. Do $ N\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right )\in d_{ 5 } $ suy ra $ d_{ 5 } $ trùng với $ d_{ 6 } $.
Cách 2:
a) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3x+2y-5=0 \\ x-4y+1=0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { 9 } { 7 } \\ y=\frac { 4 } { 7 }. \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $
Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Như vậy, $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ cắt nhau.
b) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $ d_{ 3 } $ và $ d_{ 4 } $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x-2y+3=0 \\ -2x+4y+10=0. \\ \end{array} \end{array} \right. $
Hệ trên vô nghiệm. Như vậy, $ d_{ 3 } $ song song với $ d_{ 4 } $.
c) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $ d_{ 5 } $ và $ d_{ 6 } $ tương ứng với $ t $ thoả mãn phương trình:
$ 4\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+t } \right )+2\left ( { \frac { 5 } { 2 }-2t } \right )-3=0\Leftrightarrow 0t=0. $
Phương trình này có nghiệm với mọi $ t $. Như vậy, $ d_{ 5 } $ và $ d_{ 6 } $ có vô số điểm chung, tức là $ d_{ 5 } $ trùng với $ d_{ 6 } $.
a) $ d_{ 1 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 1 } =(-2;3),d_{ 2 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 2 } =(4;1) $. Do $ \frac { -2 } { 4 }\neq \frac { 3 } { 1 } $ nên $ u_{ 1 } ,u_{ 2 } $ không cùng phương, suy ra $ d_{ 1 } $ cắt $ d_{ 2 } $.
b) $ d_{ 3 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 3 } =(2;1) $, $ d_{ 4 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 4 } =(-4;-2) $. Suy ra $ u_{ 3 } =-\frac { 1 } { 2 }u_{ 4 } $. Chọn điểm $ M(-1;1)\in d_{ 3 } $. Do $ M(-1;1)\notin d_{ 4 } $ suy ra $ d_{ 3 } $ song song với $ d_{ 4 } $.
c) $ d_{ 5 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 5 } =(-2;4),d_{ 6 } $ có vectơ chỉ phương $ u_{ 6 } =(1;-2) $. Suy ra $ u_{ 5 } =-2u_{ 6 } $. Chọn điểm $ N\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right )\in d_{ 6 } $. Do $ N\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right )\in d_{ 5 } $ suy ra $ d_{ 5 } $ trùng với $ d_{ 6 } $.
Cách 2:
a) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3x+2y-5=0 \\ x-4y+1=0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { 9 } { 7 } \\ y=\frac { 4 } { 7 }. \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $
Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Như vậy, $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ cắt nhau.
b) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $ d_{ 3 } $ và $ d_{ 4 } $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x-2y+3=0 \\ -2x+4y+10=0. \\ \end{array} \end{array} \right. $
Hệ trên vô nghiệm. Như vậy, $ d_{ 3 } $ song song với $ d_{ 4 } $.
c) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $ d_{ 5 } $ và $ d_{ 6 } $ tương ứng với $ t $ thoả mãn phương trình:
$ 4\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+t } \right )+2\left ( { \frac { 5 } { 2 }-2t } \right )-3=0\Leftrightarrow 0t=0. $
Phương trình này có nghiệm với mọi $ t $. Như vậy, $ d_{ 5 } $ và $ d_{ 6 } $ có vô số điểm chung, tức là $ d_{ 5 } $ trùng với $ d_{ 6 } $.