Bài tự luận · Bài 26
DẠNG 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 26
(KNTT10) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) $ d:x+y+1=0 $ và $ k:2x+y-3=0 $;
b) $ d:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-t \\ y=4-2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ và $ k:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t ^ { ′ } \\ y=2t ^ { ′ } ; \\ \end{array} \end{array} \right. $
c) $ d:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=6t \\ y=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ và $ k:x-3y+5=0 $.
a) $ d:x+y+1=0 $ và $ k:2x+y-3=0 $;
b) $ d:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-t \\ y=4-2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ và $ k:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t ^ { ′ } \\ y=2t ^ { ′ } ; \\ \end{array} \end{array} \right. $
c) $ d:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=6t \\ y=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ và $ k:x-3y+5=0 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $ \frac { 1 } { 2 }\neq \frac { 1 } { 1 } $ nên hai đường thẳng $ d $ và $ k $ cắt nhau.
b) Từ giả thiết ta có $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=(-1;-2),\overset\rightarrow { u_{ k } }=(1;2) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=-\overset\rightarrow { u_{ k } } $, do đó hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương. Mặt khác, từ phương trình tham số của $ d $ ta nhận thấy $ d $ đi qua điểm $ M(3;4) $. Thay toạ độ điểm $ M $ vào phương trình đường thẳng $ k $ ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3=1+t ^ { ′ } \\ 4=2t ^ { ′ } \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t ^ { ′ } =2 \\ t ^ { ′ } =2 \\ \end{array} \Leftrightarrow t ^ { ′ } =2. \end{array} \right. \end{array} \right. $
Vậy $ k $ cũng đi qua $ M $. Từ đó suy ra hai đường thẳng trùng nhau.
c) Từ giả thiết ta có $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=(6;2),\overset\rightarrow { n_{ k } }=(1;-3) $. Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng $ d $ là $ \overset\rightarrow { n_{ d } }=(-2;6) $, do đó $ \overset\rightarrow { n_{ d } }=-2\overset\rightarrow { n_{ k } } $. Vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng cùng phương. Mặt khác, từ phương trình tham số của $ d $ ta nhận thấy $ d $ đi qua điểm $ N(0;2) $. Thay toạ độ điểm $ N $ vào phương trình đường thẳng $ k $ ta có $ 0-3\cdot 2+5\neq 0 $. Do đó $ N $ không thuộc đường thẳng $ k $. Vậy hai đường thẳng song song với nhau.
Lưu ý
- Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể chuyển về tìm số điểm chung của hai đường thẳng.
- Một trong những sự lúng túng của nhiều em khi làm dạng bài này là ta cố gắng chuyển tất cả các phương trình của các đường thẳng về dạng tổng quát.
- Khi hai đường thẳng có các vectơ pháp tuyến (các vectơ chỉ phương tương ứng) cùng phương, nhiều em hay nhầm lẫn khi kết luận ngay rằng hai đường thẳng song song mà không kiểm tra xem hai đường thẳng đó có trùng nhau hay không. Trong tình huống này, để biết chính xác vị trí giữa hai đường thẳng ta cần xét thêm điểm chung của hai đường thẳng.
b) Từ giả thiết ta có $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=(-1;-2),\overset\rightarrow { u_{ k } }=(1;2) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=-\overset\rightarrow { u_{ k } } $, do đó hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương. Mặt khác, từ phương trình tham số của $ d $ ta nhận thấy $ d $ đi qua điểm $ M(3;4) $. Thay toạ độ điểm $ M $ vào phương trình đường thẳng $ k $ ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3=1+t ^ { ′ } \\ 4=2t ^ { ′ } \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t ^ { ′ } =2 \\ t ^ { ′ } =2 \\ \end{array} \Leftrightarrow t ^ { ′ } =2. \end{array} \right. \end{array} \right. $
Vậy $ k $ cũng đi qua $ M $. Từ đó suy ra hai đường thẳng trùng nhau.
c) Từ giả thiết ta có $ \overset\rightarrow { u_{ d } }=(6;2),\overset\rightarrow { n_{ k } }=(1;-3) $. Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng $ d $ là $ \overset\rightarrow { n_{ d } }=(-2;6) $, do đó $ \overset\rightarrow { n_{ d } }=-2\overset\rightarrow { n_{ k } } $. Vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng cùng phương. Mặt khác, từ phương trình tham số của $ d $ ta nhận thấy $ d $ đi qua điểm $ N(0;2) $. Thay toạ độ điểm $ N $ vào phương trình đường thẳng $ k $ ta có $ 0-3\cdot 2+5\neq 0 $. Do đó $ N $ không thuộc đường thẳng $ k $. Vậy hai đường thẳng song song với nhau.
Lưu ý
- Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể chuyển về tìm số điểm chung của hai đường thẳng.
- Một trong những sự lúng túng của nhiều em khi làm dạng bài này là ta cố gắng chuyển tất cả các phương trình của các đường thẳng về dạng tổng quát.
- Khi hai đường thẳng có các vectơ pháp tuyến (các vectơ chỉ phương tương ứng) cùng phương, nhiều em hay nhầm lẫn khi kết luận ngay rằng hai đường thẳng song song mà không kiểm tra xem hai đường thẳng đó có trùng nhau hay không. Trong tình huống này, để biết chính xác vị trí giữa hai đường thẳng ta cần xét thêm điểm chung của hai đường thẳng.