(CTST10) Thiết kế của một chiếc cổng có hình parabol với chiều cao $5$ m và khoảng cách giữa hai chân cổng là $4$ m.
a) Chọn trục hoành là đường thẳng nối hai chân cổng, gốc toạ độ tại một chân cổng, chân cổng còn lại có hoành độ dương, đơn vị là $1$ m. Hãy viết phương trình của vòm cổng.
b) Người ta cần chuyển một thùng hàng hình hộp chữ nhật với chiều cao $3$ m. Chiều rộng của thùng hàng tối đa là bao nhiêu để thùng có thể chuyển lọt qua được cổng?
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đặt gốc toạ độ tại một chân cổng như hình, ta viết phương trình $y=ax^2+bx+c$ của đường viền cổng.
Ta có một chân cổng có toạ độ $(0;0)$ nên ta có: $c=0$ (1).
Ta có một chân cổng có toạ độ $(4;0)$ nên ta có: $16a+4b+c=0$ (2).
Ta có đỉnh cổng có toạ độ $(2;5)$ nên ta có: $4a+2b+c=5$ (3).
Thay (1) vào (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 16a+4b=0 \\ 4a+2b=5 \end{array} \right.$. Do đó $a=-1,25; b=5$ và $c=0$.
Vậy phương trình của vòm cổng là $y=-1,25x^2+5x$.
b) Ta xác định các hoành độ $x$ mà tại đó vòm cổng cao hơn thùng hàng bằng cách giải bất phương trình $y=-1,25x^2+5x\geq 3$.
Ta có $-1,25x^2+5x\geq 3$ khi và chỉ khi $2-\frac{2\sqrt{10}}{5}\leq x\leq 2+\frac{2\sqrt{10}}{5}$, tức là $0,74\leq x\leq 3,26$.
Vậy chiều rộng tối đa của thùng hàng là $\frac{4\sqrt{10}}{5}\approx 2,53$ m.
