Trong hệ trục toạ độ $ Oxy $, đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -2ax-2by-3=0 $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;1 } \right ) $ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên. Khi đó toạ độ tâm $ I $ của đường tròn này là ………

Lời giải Đáp án: $ I\left ( { 1;\frac { -3 } { 2 } } \right ) $ và $ I\left ( { -1;\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { C } \right ) $ với trục hoành là $ x ^ { 2 } -2ax-3=0 $(*). Vì điểm cắt có hoành độ nguyên nên phương trình (*) có hai nghiệm nguyên $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ thoả mãn $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } x_{ 2 } =-3 \\ x_{ 1 } +x_{ 2 } =2a \end{array} \right. $. TH1: $ x_{ 1 } =-3;x_{ 2 } =1⇒a=-1 $. Khi đó đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2x-2by-3=0 $. Đường tròn này đi qua điểm $ A\left ( { 1;1 } \right ) $ nên $ b=\frac { 1 } { 2 } $. Khi đó toạ độ tâm của đường tròn là $ I\left ( { -1;\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. TH2: $ x_{ 1 } =-1;x_{ 2 } =3⇒a=1 $. Khi đó đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -2x-2by-3=0 $. Đường tròn này đi qua điểm $ A\left ( { 1;1 } \right ) $ nên $ b=\frac { -3 } { 2 } $. Khi đó toạ độ tâm của đường tròn là $ I\left ( { 1;\frac { -3 } { 2 } } \right ) $.