Bài tập nâng cao · Bài 18
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 18
Cho hai đường thẳng $d_1:x+my+2m-1=0$ và $d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=m+2t \\ y=-5+t \end{array} \right.$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để $d_1,d_2$ tạo với nhau một góc bằng $45^\circ$.
Xem lời giải
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của $d_1$, $d_2$ lần lượt là $\vec n_1=(1;m)$ và $\vec n_2=(1;-2)$.
Để $d_1,d_2$ tạo với nhau một góc bằng $45^\circ$ thì $\cos(d_1,d_2)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.
$\Leftrightarrow |\cos(\vec n_1,\vec n_2)|=\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{|1.1+m.(-2)|}{\sqrt{m^2+1^2}.\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{|2m-1|}{\sqrt{m^2+1}.\sqrt5}=\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{(2m-1)^2}{5(m^2+1)}=\frac12$.
$\Leftrightarrow 2(2m-1)^2=5(m^2+1)$ $\Leftrightarrow 8m^2-8m+2=5m^2+5$ $\Leftrightarrow 3m^2-8m-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=3 \\ m=-\frac13 \end{array} \right.$.
Để $d_1,d_2$ tạo với nhau một góc bằng $45^\circ$ thì $\cos(d_1,d_2)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.
$\Leftrightarrow |\cos(\vec n_1,\vec n_2)|=\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{|1.1+m.(-2)|}{\sqrt{m^2+1^2}.\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{|2m-1|}{\sqrt{m^2+1}.\sqrt5}=\frac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{(2m-1)^2}{5(m^2+1)}=\frac12$.
$\Leftrightarrow 2(2m-1)^2=5(m^2+1)$ $\Leftrightarrow 8m^2-8m+2=5m^2+5$ $\Leftrightarrow 3m^2-8m-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=3 \\ m=-\frac13 \end{array} \right.$.