Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 32
(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Trong năm tới, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá $ 1,2 $tỉ đồng.
Biết rằng, giá mua vào và lợi nhuận dự kiến được cho bởi bảng sau:
Điều hòa hai chiều Điều hòa một chiều
Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy
Lợi nhuận dự kiến 3,5 triệu đồng/1 máy 2 triệu đồng/1 máy
Cửa hàng ước tính rằng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Cửa hàng cần đầu tư kinh doanh $ x $ loại máy hai chiều và $ y $ loại máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất. Tổng $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } $ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Đáp án: 6800
Giả sử cửa hàng dự định kinh doanh $ x $ máy điều hòa hai chiều và $ y $ máy điều hòa một chiều ($ x,y\in \mathbb{N} $).
Khi đó, số vốn bỏ ra là $ 20x+10y $ (triệu đồng) và lợi nhuận thu được $ T=3,5x+2y $ (triệu đồng).
Theo giả thiết, $ x $ và $ y $ thỏa mãn các điều kiện: $ x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y\leq 100,\,20x+10y\leq 1200 $.
Bài toán đưa về: Tìm $ \left ( { x,\,y } \right ) $ là nghiệm của hệ bất phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 100 \\ 2x+y\leq 120 \end{array} \right.\,\,\,\left ( { I } \right ) $ sao cho $ T=3,5x+2y $ có giá trị lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình $ \left ( { I } \right ) $ là miền tứ giác $ OABC $ với $ O\left ( { 0;\,0 } \right ) $, $ A\left ( { 0;\,100 } \right ) $, $ B\left ( { 20;\,80 } \right ) $, $ C\left ( { 60;\,0 } \right ) $.
Thay tọa độ các đỉnh của tứ giác $ OABC $ vào biểu thức $ T=3,5x+2y $ ta được giá trị lớn nhất bằng 230 khi $ x=20,\,y=80 $.
Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy điều hòa một chiều.
Vậy $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =20 ^ { 2 } +80 ^ { 2 } =6800 $.
