Cho $ ΔABC $ có trọng tâm $ G $. Các điểm $ D,E,F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC,CA,AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF $. Đặt $ u=\overset\rightarrow { AE },v=\overset\rightarrow { AF } $. Phân tích vectơ $ \overset\rightarrow { AI } $ theo hai vectơ $ u $ và $ v $ ta thu được kết quả dạng $ a.u+b.v $ với $ a;b $ là các số hữu tỷ. Tính giá trị $ S=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $.

Theo tính chất đường trung bình thì $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} DE//AB \\ DF//AC \\ \end{array} ⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} DE//AF \\ DF//AE \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ Suy ra: $ AEDF $ là hình bình hành $ ⇒AD=AE+AF $. Từ giả thiết ta có $ I $ là tâm của hình bình hành $ AEDF $. Khi đó: $ \overset\rightarrow { AI }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { AE }+\overset\rightarrow { AF } } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { u+v } \right )=\frac { 1 } { 2 }u+\frac { 1 } { 2 }v⇒\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 2 } \\ b=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right.⇒S=0,5 $.