Cho $ ΔABC $ có trọng tâm $ G $. Các điểm $ D,E,F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC,CA,AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF $. Đặt $ u=\overset\rightarrow { AE },v=\overset\rightarrow { AF } $. $ \overset\rightarrow { AI }=m\overset\rightarrow { u }+n\overset\rightarrow { v } $ tính $ P=m ^ { 2 } +n ^ { 2 } $

Theo tính chất đường trung bình thì $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} DE//AB \\ DF//AC \\ \end{array} ⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} DE//AF \\ DF//AE \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ Suy ra: $ AEDF $ là hình bình hành $ ⇒AD=AE+AF $. Từ giả thiết ta có $ I $ là tâm của hình bình hành $ AEDF $.Khi đó: $ \overset\rightarrow { AI }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }=\frac { 1 } { 2 }(\overset\rightarrow { AE }+\overset\rightarrow { AF })=\frac { 1 } { 2 }(u+v)=\frac { 1 } { 2 }u+\frac { 1 } { 2 }v $ Suy ra $ m=\frac { 1 } { 2 };n=\frac { 1 } { 2 }⇒P=m ^ { 2 } +n ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { 4 }=\frac { 1 } { 2 } $.