Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $ y=sinx-cosx $;
b) $ y=sinx+sin\left ( { \frac { \pi } { 3 }-x } \right ) $
c) $ y=sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x $;
d) $ y=cos2x+2cosx-1 $
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ y=sinx-cosx=\sqrt[] { 2 }sin\left ( { x-\frac { \pi } { 4 } } \right ) $.
$ \text{Vì }-1\leq sin\left ( { x-\frac { \pi } { 4 } } \right )\leq 1\text{ nên }-\sqrt[] { 2 }\leq \sqrt[] { 2 }sin\left ( { x-\frac { \pi } { 4 } } \right )\leq \sqrt[] { 2 }{ \rm{ , } }{ \rm{ } }∀x\in \mathbb{R}{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $ \sqrt[] { 2 } $, đạt được khi $ sin\left ( { x-\frac { \pi } { 4 } } \right )=1 $
$ \Leftrightarrow x-\frac { \pi } { 4 }=\frac { \pi } { 2 }+k2\pi \text{ hay }x=\frac { 3\pi } { 4 }+k2\pi (k\in \mathbb{Z}). $
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -\sqrt[] { 2 } $, đạt được khi $ sin\left ( { x-\frac { \pi } { 4 } } \right )=-1 $
$ \Leftrightarrow x-\frac { \pi } { 4 }=-\frac { \pi } { 2 }+k2\pi \text{ hay }x=-\frac { \pi } { 4 }+k2\pi (k\in \mathbb{Z}). $
b) Ta có $ y=sinx+sin\left ( { \frac { \pi } { 3 }-x } \right )=2sin\frac { \pi } { 6 }cos\left ( { x-\frac { \pi } { 6 } } \right )=cos\left ( { x-\frac { \pi } { 6 } } \right ) $. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $ cos\left ( { x-\frac { \pi } { 6 } } \right )=1\Leftrightarrow x-\frac { \pi } { 6 }=k2\pi $ hay
$ x=\frac { \pi } { 6 }+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z}) $ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi $ cos\left ( { x-\frac { \pi } { 6 } } \right )=-1\Leftrightarrow x-\frac { \pi } { 6 }=\pi +k2\pi $ hay $ x=\frac { 7\pi } { 6 }+k2\pi (k\in \mathbb{Z}) $.
c) Ta có $ y=sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x $
$ =\left ( { sin ^ { 2 } x+cos ^ { 2 } x } \right ) ^ { 2 } -2sin ^ { 2 } xcos ^ { 2 } x=1-\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x=\frac { 3 } { 4 }+\frac { 1 } { 4 }cos4x. $
Vì $ -1\leq cos4x\leq 1 $ nên $ \frac { 1 } { 2 }=\frac { 3 } { 4 }-\frac { 1 } { 4 }\leq \frac { 3 } { 4 }+\frac { 1 } { 4 }cos4x\leq \frac { 3 } { 4 }+\frac { 1 } { 4 }=1 $, với mọi $ x\in \mathbb{R} $.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $ cos4x=1 $
$ \Leftrightarrow 4x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\frac { \pi } { 2 }(k\in \mathbb{Z}). $
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ \frac { 1 } { 2 } $, đạt được khi $ cos4x=-1 $
$ \Leftrightarrow 4x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 4 }+k\frac { \pi } { 2 }(k\in \mathbb{Z}). $
d) Ta có $ y=cos2x+2cosx-1=2cos ^ { 2 } x+2cosx-2=2t ^ { 2 } +2t-2 $ với $ t=cosx\in [-1;1] $.
Xét hàm số $ y=2t ^ { 2 } +2t-2 $ trên đoạn $ [-1;1] $. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ta dễ dàng suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $ cosx=1\Leftrightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z}) $ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -\frac { 5 } { 2 } $, đạt được khi $ cosx=-\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow x=±\frac { 2\pi } { 3 }+k2\pi (k\in \mathbb{Z}) $
