Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 24
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau là $b^2+c^2=5a^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Khi đó hai trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\triangle GBC$ vuông tại $G$.
$\Leftrightarrow GB^2+GC^2=BC^2\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}m_b\right)^2+\left(\frac{2}{3}m_c\right)^2=a^2$ (*).
Mặt khác theo công thức đường trung tuyến, ta có: $m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$, $m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$.
Suy ra
$(*)\Leftrightarrow\frac{4}{9}(m_b^2+m_c^2)=a^2\Leftrightarrow\frac{4}{9}\left[\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}\right]=a^2$
$\Leftrightarrow4a^2+b^2+c^2=9a^2\Leftrightarrow b^2+c^2=5a^2$.
Khi đó hai trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\triangle GBC$ vuông tại $G$.
$\Leftrightarrow GB^2+GC^2=BC^2\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}m_b\right)^2+\left(\frac{2}{3}m_c\right)^2=a^2$ (*).
Mặt khác theo công thức đường trung tuyến, ta có: $m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$, $m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$.
Suy ra
$(*)\Leftrightarrow\frac{4}{9}(m_b^2+m_c^2)=a^2\Leftrightarrow\frac{4}{9}\left[\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}\right]=a^2$
$\Leftrightarrow4a^2+b^2+c^2=9a^2\Leftrightarrow b^2+c^2=5a^2$.