Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 23
Trong mọi tam giác $ABC$ chứng minh rằng $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$ (với $a, b, c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC, AC, AB$ và $S$ là diện tích tam giác).
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết ta có
$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc\cdot\frac{a}{2R}}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac\cdot\frac{b}{2R}}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab\cdot\frac{c}{2R}}$
$=\frac{2R(b^2+c^2-a^2)}{2bca}+\frac{2R(a^2+c^2-b^2)}{2acb}+\frac{2R(a^2+b^2-c^2)}{2abc}$
$=\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$ (do $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\frac{R}{abc}=\frac{1}{4S}$).
$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc\cdot\frac{a}{2R}}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac\cdot\frac{b}{2R}}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab\cdot\frac{c}{2R}}$
$=\frac{2R(b^2+c^2-a^2)}{2bca}+\frac{2R(a^2+c^2-b^2)}{2acb}+\frac{2R(a^2+b^2-c^2)}{2abc}$
$=\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$ (do $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\frac{R}{abc}=\frac{1}{4S}$).