Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 22
Cho điểm $D$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}=\widehat{DCA}=\varphi$. Chứng minh rằng:
a) $\sin^3\varphi=\sin(A-\varphi)\cdot\sin(B-\varphi)\cdot\sin(C-\varphi)$;
b) $\cot\varphi=\cot A+\cot B+\cot C$.
a) $\sin^3\varphi=\sin(A-\varphi)\cdot\sin(B-\varphi)\cdot\sin(C-\varphi)$;
b) $\cot\varphi=\cot A+\cot B+\cot C$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo định lý sin, trong các tam giác $ABD, BCD, ACD$. Ta có:
$\frac{BD}{\sin\varphi}=\frac{AD}{\sin(B-\varphi)}$; $\frac{CD}{\sin\varphi}=\frac{BD}{\sin(C-\varphi)}$; $\frac{AD}{\sin\varphi}=\frac{CD}{\sin(A-\varphi)}$.
Từ đó ta được $\frac{AD\cdot BD\cdot CD}{\sin^3\varphi}=\frac{AD\cdot BD\cdot CD}{\sin(A-\varphi)\cdot\sin(B-\varphi)\cdot\sin(C-\varphi)}$.
Suy ra điều phải chứng minh.
b) Áp dụng định lý cosin vào tam giác $DAB$, ta có $BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot\cos\varphi$.
Mà $\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot\sin\varphi=S_{ABD}$. Từ đó suy ra $BD^2=AB^2+AD^2-4S_{DAB}\cdot\cot\varphi$.
Tương tự $CD^2=BC^2+BD^2-4S_{DBC}\cdot\cot\varphi$ và $AD^2=AC^2+CD^2-4S_{DCA}\cdot\cot\varphi$.
Cộng vế theo vế, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích $S$ của tam giác $ABC$, ta được
$\cot\varphi=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}R$.
Mà $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}R$ nên ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.
$\frac{BD}{\sin\varphi}=\frac{AD}{\sin(B-\varphi)}$; $\frac{CD}{\sin\varphi}=\frac{BD}{\sin(C-\varphi)}$; $\frac{AD}{\sin\varphi}=\frac{CD}{\sin(A-\varphi)}$.
Từ đó ta được $\frac{AD\cdot BD\cdot CD}{\sin^3\varphi}=\frac{AD\cdot BD\cdot CD}{\sin(A-\varphi)\cdot\sin(B-\varphi)\cdot\sin(C-\varphi)}$.
Suy ra điều phải chứng minh.
b) Áp dụng định lý cosin vào tam giác $DAB$, ta có $BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot\cos\varphi$.
Mà $\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot\sin\varphi=S_{ABD}$. Từ đó suy ra $BD^2=AB^2+AD^2-4S_{DAB}\cdot\cot\varphi$.
Tương tự $CD^2=BC^2+BD^2-4S_{DBC}\cdot\cot\varphi$ và $AD^2=AC^2+CD^2-4S_{DCA}\cdot\cot\varphi$.
Cộng vế theo vế, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích $S$ của tam giác $ABC$, ta được
$\cot\varphi=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}R$.
Mà $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}R$ nên ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.