Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 21
Cho tam giác nhọn $ABC$ có các cạnh $a,b,c$ và diện tích $S$. Trên ba cạnh về phía ngoài của tam giác đó dựng các tam giác vuông cân $A'BC,\,B'AC,\,C'AB$ ($A',B',C'$ lần lượt là đỉnh). Chứng minh rằng $A'B'^2+B'C'^2+C'A'^2=a^2+b^2+c^2+6S$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $AB'=\frac{b\sqrt{2}}{2},AC'=\frac{c\sqrt{2}}{2},\widehat{B'AC'}=\widehat A+90^\circ$.
Trong tam giác $AB'C'$, ta có
$B'C'^2=AB'^2+AC'^2-2AB'\cdot AC'\cdot\cos\widehat{B'AC'}=\frac{b^2+c^2}{2}+bc\sin A=\frac{b^2+c^2}{2}+2S$.
Tương tự $A'B'^2=\frac{a^2+b^2}{2}+2S$ và $C'A'^2=\frac{a^2+c^2}{2}+2S$.
Từ đó suy ra $A'B'^2+B'C'^2+C'A'^2=a^2+b^2+c^2+6S$.