Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 20
Tam giác $ABC$ có $\frac{c}{b}=\frac{m_b}{m_c}\ne1$. Chứng minh rằng $2\cot A=\cot B+\cot C$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $2\cot A=\cot B+\cot C$
$\Leftrightarrow2\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}R=\frac{a^2+c^2-b^2}{abc}R+\frac{a^2+b^2-c^2}{abc}R$
$\Leftrightarrow b^2+c^2=2a^2$.
Từ giả thiết suy ra $c^2m_c^2=b^2m_b^2$. Do đó $c^2\left(\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)=b^2\left(\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)$.
Suy ra $2b^2c^2+2a^2c^2-c^4=2b^2c^2+2a^2b^2-b^4\Leftrightarrow b^4-c^4=2a^2(b^2-c^2)$
$\Rightarrow b^2+c^2=2a^2\,\,(\text{do }b^2-c^2\ne0)$.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
$\Leftrightarrow2\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}R=\frac{a^2+c^2-b^2}{abc}R+\frac{a^2+b^2-c^2}{abc}R$
$\Leftrightarrow b^2+c^2=2a^2$.
Từ giả thiết suy ra $c^2m_c^2=b^2m_b^2$. Do đó $c^2\left(\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)=b^2\left(\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)$.
Suy ra $2b^2c^2+2a^2c^2-c^4=2b^2c^2+2a^2b^2-b^4\Leftrightarrow b^4-c^4=2a^2(b^2-c^2)$
$\Rightarrow b^2+c^2=2a^2\,\,(\text{do }b^2-c^2\ne0)$.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.