Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 19
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $d$ là đường phân giác của góc $A$. Chứng minh rằng:
a) $d=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.
b) $r=\frac{1}{2}(b+c-a)$.
a) $d=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.
b) $r=\frac{1}{2}(b+c-a)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}dc\sin45^\circ+\frac{1}{2}db\sin45^\circ$
$\Leftrightarrow bc=d(b+c)\sin45^\circ=d(b+c)\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow d=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.
b) Ta có $S=pr\Rightarrow r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{bc}{b+c+\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{1}{2}(b+c-\sqrt{b^2+c^2})=\frac{1}{2}(b+c-a)$.
$\Leftrightarrow bc=d(b+c)\sin45^\circ=d(b+c)\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow d=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.
b) Ta có $S=pr\Rightarrow r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{bc}{b+c+\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{1}{2}(b+c-\sqrt{b^2+c^2})=\frac{1}{2}(b+c-a)$.