Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 18
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đồng dạng với tam giác $A'B'C'$. Gọi $a'=B'C',\,b'=A'C',c'=A'B'$ và $h_a'$ là đường cao hạ từ $A'$ của tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng:
a) $a\cdot a'=b\cdot b'+c\cdot c'$.
b) $\frac{1}{h_a\cdot h_a'}=\frac{1}{b\cdot b'}+\frac{1}{c\cdot c'}$.
a) $a\cdot a'=b\cdot b'+c\cdot c'$.
b) $\frac{1}{h_a\cdot h_a'}=\frac{1}{b\cdot b'}+\frac{1}{c\cdot c'}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo giả thiết đồng dạng của hai tam giác vuông ta có $\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k$.
Suy ra $a=k\cdot a'\Rightarrow a\cdot a'=k\cdot a'^2$, tương tự $b\cdot b'=k\cdot b'^2,c\cdot c'=k\cdot c'^2$.
Do $a'^2=b'^2+c'^2$ nên $a\cdot a'=b\cdot b'+c\cdot c'$.
b) Ta có $\frac{1}{b\cdot b'}+\frac{1}{c\cdot c'}=\frac{1}{k\cdot b'^2}+\frac{1}{k\cdot c'^2}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{b'^2}+\frac{1}{c'^2}\right)=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{h_a'^2}=\frac{1}{k\cdot h_a'\cdot h_a'}=\frac{1}{h_a\cdot h_a'}$.
Suy ra $a=k\cdot a'\Rightarrow a\cdot a'=k\cdot a'^2$, tương tự $b\cdot b'=k\cdot b'^2,c\cdot c'=k\cdot c'^2$.
Do $a'^2=b'^2+c'^2$ nên $a\cdot a'=b\cdot b'+c\cdot c'$.
b) Ta có $\frac{1}{b\cdot b'}+\frac{1}{c\cdot c'}=\frac{1}{k\cdot b'^2}+\frac{1}{k\cdot c'^2}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{b'^2}+\frac{1}{c'^2}\right)=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{h_a'^2}=\frac{1}{k\cdot h_a'\cdot h_a'}=\frac{1}{h_a\cdot h_a'}$.