(KNTT10) Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
a) $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$;
b) $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $m_a=AM$. Có hai trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp 1. $b=c$. Trong trường hợp này $AM$ cũng chính là đường cao kẻ từ $A$ của tam giác. Do đó $m_a^2=AC^2-CM^2=b^2-\frac{a^2}{4}=\frac{b^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}$.
Trường hợp 2. $b\neq c$. Không mất tính tổng quát, xét trường hợp $b<c$, trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Do $b<c$ nên $D$ thuộc tia $MC$.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ADB$, ta có
$AB^2=BD^2+AD^2=(BM+MD)^2+AD^2=BM^2+2\cdot BM\cdot MD+MD^2+AD^2$
Suy ra $AB^2=BM^2+2\cdot BM\cdot MD+AM^2(1)$
Một cách tương tự, áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ADC$, cũng được
$AC^2=AD^2+(MC-MD)^2=MC^2-2\cdot MC\cdot MD+AM^2(2)$
Từ (1) và (2) suy ra
$AB^2+AC^2=(BM^2+CM^2)+2(BM\cdot MD-CM\cdot MD)+2AM^2=(BM^2+CM^2)+2AM^2$
hay $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$.
b) Từ công thức tính diện tích tam giác suy ra
$\frac{1}{r}=\frac{p}{S}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
Nhận xét
- Công thức $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ cho phép ta tính được độ dài đường trung tuyến của một tam giác, khi biết ba cạnh của nó. Có thể thu được công thức này bằng cách làm như trong bài $3.16$ (Toán 10, tập một).
- Nếu gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$, thì tứ giác $ABEC$ là một hình bình hành với hai đường chéo $BC,AE$. Khi đó công thức tính độ dài đường trung tuyến ở phần a) trở thành $BC^2+AE^2=AB^2+BE^2+EC^2+CA^2$.
