Bài tập nâng cao · Bài 62
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 62
(ĐH B2009) Giải phương trình $\sin x+\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^{3}x).$
Xem lời giải
Lời giải
$\sin x+\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\left( \cos 4x+\sin^{3}x \right)$
$\Leftrightarrow \sin x+2\cos^{2}x\sin x-2\sin^{3}x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 1+2\cos^{2}x \right)-2\sin^{3}x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 3-2\sin^{2}x \right)-2\sin^{3}x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \sin 3x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \cos\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)=\cos 4x$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-\frac{\pi}{6}=4x+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi}{6}=-4x+k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{42}+\frac{k2\pi}{7} \end{array} \right.$ $\left( k\in\mathbb{Z} \right)$
$\Leftrightarrow \sin x+2\cos^{2}x\sin x-2\sin^{3}x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 1+2\cos^{2}x \right)-2\sin^{3}x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 3-2\sin^{2}x \right)-2\sin^{3}x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \sin 3x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$
$\Leftrightarrow \cos\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)=\cos 4x$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-\frac{\pi}{6}=4x+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi}{6}=-4x+k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{42}+\frac{k2\pi}{7} \end{array} \right.$ $\left( k\in\mathbb{Z} \right)$