Dạng 2. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức cùng bằng một biểu thức trung gian.
- Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ, tính chất của tích vô hướng.
- Tách vectơ, biến đổi về các tích vô hướng khác.
- Hai đường thẳng $ a $ và $ b $ vuông góc khi và chỉ khi $ u.v=0 $, trong đó $ u\neq 0,v\neq 0 $, giá của vectơ $ u $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ a $ và giá của vectơ $ v $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ b $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 23
(KNTT10) Cho nửa đường tròn với đường kính $AB=2R$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm trên nửa đường tròn sao cho hai dây cung $AM$ và $BN$ cắt nhau tại một điểm $I$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}$.
b) Tính $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BN}$ theo $R$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $M$ thuộc nửa đường tròn với đường kính $AB$ nên $\widehat{AMB}=90^{\circ}$.
Suy ra $AM=AB\cdot\cos\widehat{BAM}$. Từ đó, để ý rằng $\widehat{BAM}=(\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AB})$, ta có
$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AM}=\|\overrightarrow{AI}\|\cdot\|\overrightarrow{AM}\|\cdot\cos(\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AM})=AI\cdot AM=AI\cdot AB\cdot\cos\widehat{BAM}=\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}$.
b) Tương tự như phần a), ta cũng được $\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{AB}$.
Suy ra
$\begin{array}{ll}\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BN}\\=\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI})&\\=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})=\overrightarrow{AB}^2=4R^2.&\end{array}$
Nhận xét. Một cách khái quát, ta chứng minh được $a\cdot b=a\cdot\overrightarrow{b'}$, trong đó $\overrightarrow{b'}$ là hình chiếu vuông góc của vectơ $b$ trên giá của vectơ $a$. Kết quả này được gọi là định lí chiếu.
