(CD10) Cho tam giác $ABC$ có $AB=2,AC=3$, $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $D$ thuộc cạnh $AC$ thoả mãn $AD=\frac7{12}AC$.

Chứng minh $AM\perp BD$.

Question

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức cùng bằng một biểu thức trung gian. - Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ, tính chất của tích vô hướng. - Tách vectơ, biến đổi về các tích vô hướng khác. - Hai đường thẳng $ a $ và $ b $ vuông góc khi và chỉ khi $ u.v=0 $, trong đó $ u
eq 0,v
eq 0 $, giá của vectơ $ u $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ a $ và giá của vectơ $ v $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ b $. (CD10) Cho tam giác $ABC$ có $AB=2,AC=3$, $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $D$ thuộc cạnh $AC$ thoả mãn $AD=\frac7{12}AC$. [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/B. TU LUAN/image370.png] Chứng minh $AM\perp BD$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac7{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. $\Rightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot\left(\frac7{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$ $=\frac12\left(\frac7{12}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac7{12}\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)$ $=\frac12\left(\frac7{12}\cdot2\cdot3\cdot\frac12+\frac7{12}\cdot3^2-2^2-2\cdot3\cdot\frac12\right)=\frac12(7-4-3)=0$. Vậy $AM\perp BD$.

Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 24