(CTST12) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của các hình vuông $ABCD$ và $A'B'C'D';I$ là giao điểm của $AC'$ và $A'C$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'}=4\overrightarrow{OO'}$;
b) $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DD'}=2\overrightarrow{DI}$.
Xem lời giải
Lời giải
a)
$\begin{aligned}\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'}&=(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OC'})+(\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OD'})\\&=2\overrightarrow{OO'}+2\overrightarrow{OO'}=4\overrightarrow{OO'}\end{aligned}$
b) Ta có bốn đường chéo của hình lập phương cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $I$ cũng là trung điểm của $DB'$. Suy ra $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{DB'}=2\overrightarrow{DI}$.
