Bài tự luận · Bài 22
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 22
(CTST12) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC,G$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$
a) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF},\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$.
Do $E$ là trung điểm của $AD$ và $F$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}=0,\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=0$.
Suy ra $2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED})+(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$
Suy ra $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$.
b) Do $G$ là trung điểm của $EF$ nên ta có $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=0$.
Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD})+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}$
$=2(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=2\cdot 0=0$.