Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 18
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $M(1/2;1;1)$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi qua $AM$ và cắt các tia $Oy,Oz$ tại $B,C$. Tìm diện tích nhỏ nhất của tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, $b,c>0$. Từ $(P):x/2+y/b+z/c=1$ và $M\in(P)$ suy ra $1/b+1/c=3/4$, hay $bc=4(b+c)/3$. Do đó
$S_{ABC}=\frac12\sqrt{b^2c^2+4b^2+4c^2}\ge\frac{\sqrt{34}}6(b+c)$.
Mặt khác, $3/4=1/b+1/c\ge4/(b+c)$, nên $b+c\ge16/3$. Suy ra $S_{ABC}\ge8\sqrt{34}/9$, dấu bằng khi $b=c=8/3$.
$S_{ABC}=\frac12\sqrt{b^2c^2+4b^2+4c^2}\ge\frac{\sqrt{34}}6(b+c)$.
Mặt khác, $3/4=1/b+1/c\ge4/(b+c)$, nên $b+c\ge16/3$. Suy ra $S_{ABC}\ge8\sqrt{34}/9$, dấu bằng khi $b=c=8/3$.