Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 20
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;-2;4)$, $B(-3;3;-1)$ và $(P):2x-y+2z-8=0$. Điểm $M$ thay đổi trên $(P)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $2MA^2+3MB^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ thỏa $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0$, suy ra $I(-1;1;1)$. Ta có $IA^2=27$, $IB^2=12$, $d(I,(P))=3$. Với mọi $M$,
$2MA^2+3MB^2=2|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}|^2+3|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|^2=5MI^2+2IA^2+3IB^2=5MI^2+90$.
Vì $M\in(P)$ nên $MI\ge d(I,(P))=3$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $5\cdot9+90=135$.
$2MA^2+3MB^2=2|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}|^2+3|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|^2=5MI^2+2IA^2+3IB^2=5MI^2+90$.
Vì $M\in(P)$ nên $MI\ge d(I,(P))=3$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $5\cdot9+90=135$.