Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 21
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;-2;4)$, $B(-3;3;-1)$, $C(-1;-1;-1)$ và $(P):2x-y+2z+8=0$. Với $M\in(P)$, tìm giá trị nhỏ nhất của $T=2MA^2+MB^2-MC^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ thỏa $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$, suy ra $I(1;0;4)$. Khai triển theo $I$ cho
$T=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2$.
Vì phần còn lại là hằng số, $T$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$. Khi đó $MI=d(I,(P))=6$ và $2IA^2+IB^2-IC^2=30$. Vậy $T_{\min}=2\cdot6^2+30=102$.
$T=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2$.
Vì phần còn lại là hằng số, $T$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$. Khi đó $MI=d(I,(P))=6$ và $2IA^2+IB^2-IC^2=30$. Vậy $T_{\min}=2\cdot6^2+30=102$.