Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 22
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;1;2)$, $B(1;1;0)$, $C(3;0;1)$ và $(Q):x+y+z-5=0$. Với $M\in(Q)$, tìm giá trị nhỏ nhất của $P=MA^2+MB^2+MC^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $G$ là trọng tâm $ABC$, suy ra $G(4/3;2/3;1)$. Khi đó
$P=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\ge3d^2(G,(Q))+GA^2+GB^2+GC^2$.
Ta có $d(G,(Q))=2/\sqrt3$, $GA^2=26/9$, $GB^2=11/9$, $GC^2=29/9$. Do đó
$P_{\min}=3\cdot4/3+(26+11+29)/9=34/3$,
đạt khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(Q)$.
$P=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\ge3d^2(G,(Q))+GA^2+GB^2+GC^2$.
Ta có $d(G,(Q))=2/\sqrt3$, $GA^2=26/9$, $GB^2=11/9$, $GC^2=29/9$. Do đó
$P_{\min}=3\cdot4/3+(26+11+29)/9=34/3$,
đạt khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(Q)$.