Cho hình chóp tứ giác đều$ S.ABCD $ có tất cả các cạnh đều bằng $ a $. Gọi $ O $giao điểm $ AC $ và $ B{ \rm{ D } } $. Tính khoảng cách từ $ O $ tới $ { \rm{ m } }{ \rm{ p } }\left ( { SCD } \right ) $.

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình chóp tứ giác đều$ S.ABCD $ có tất cả các cạnh đều bằng $ a $. Gọi $ O $giao điểm $ AC $ và $ B{ \rm{ D } } $. Tính khoảng cách từ $ O $ tới $ { \rm{ m } }{ \rm{ p } }\left ( { SCD } \right ) $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image291.png] Tính khoảng cách từ $ O $ tới $ mp\left ( { SCD } ight ) $: Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Theo giả thiết $ SO⊥\left ( { ABCD } ight )⊃CD $. $ \Rightarrow $ $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥SO⊂\left ( { SOM } ight ) \ CD⊥OM⊂\left ( { SOM } ight ) \ OM∩SO=O \end{array} ight. $ $ \Rightarrow $ $ CD⊥\left ( { SOM } ight ) $ mà $ CD⊂\left ( { SCD } ight ) $$ \Rightarrow $ $ \left ( { SCD } ight )⊥\left ( { SOM } ight ) $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ lên $ SM $$ \Rightarrow OH⊥SM=\left ( { SCD } ight )∩\left ( { SOM } ight ) $, suy ra $ OH⊥\left ( { SCD } ight ) $ nên $ d\left ( { O,\left ( { SCD } ight ) } ight )=OH $. Ta có $ SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } ight ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Trong $ \Delta SOM $ vuông tại $ O $, ta có: $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OS ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { \frac { a } { 2 } } ight ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } ight ) ^ { 2 } }=\frac { 6 } { a ^ { 2 } } $ $ \Rightarrow $ $ OH=\frac { a } { \sqrt[] { 6 } } $$ \Rightarrow $$ d\left ( { O,\left ( { SCD } ight ) } ight )=OH=\frac { a } { \sqrt[] { 6 } } $.

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 11