Bài tập nâng cao · Bài 10
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 10
[1H3-0.0-3] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $, $ SA $ vuông góc với mặt đáy và $ SA=AB=\sqrt[] { 3 } $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ SAB $. Khoảng cách từ $ G $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M $ là trung điểm của $ SB $ $ \Rightarrow AM⊥SB $ (vì tam giác $ SAB $ cân).
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right. $$ \Rightarrow BC⊥\left ( { SAB } \right ) $$ \Rightarrow BC⊥AM $.
Và $ \left \{ \begin{array}{l} AM⊥SB \\ AM⊥BC \end{array} \right. $$ \Rightarrow AM⊥\left ( { SBC } \right ) $$ \Rightarrow GM⊥\left ( { SBC } \right ) $ tại $ M $.
Do đó $ d\left ( { G,\left ( { SBC } \right ) } \right )=GM $, $ SB=AB\sqrt[] { 2 } $$ =\sqrt[] { 6 } $, $ AM=\frac { SB } { 2 } $$ =\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $$ \Rightarrow GM=\frac { AM } { 3 } $$ =\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right. $$ \Rightarrow BC⊥\left ( { SAB } \right ) $$ \Rightarrow BC⊥AM $.
Và $ \left \{ \begin{array}{l} AM⊥SB \\ AM⊥BC \end{array} \right. $$ \Rightarrow AM⊥\left ( { SBC } \right ) $$ \Rightarrow GM⊥\left ( { SBC } \right ) $ tại $ M $.
Do đó $ d\left ( { G,\left ( { SBC } \right ) } \right )=GM $, $ SB=AB\sqrt[] { 2 } $$ =\sqrt[] { 6 } $, $ AM=\frac { SB } { 2 } $$ =\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $$ \Rightarrow GM=\frac { AM } { 3 } $$ =\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } $.