Bài tập nâng cao · Bài 12
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 12
Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có $ AB=1 $, $ AC=2 $, $ AA'=3 $và $ \widehat { BAC }=120° $. Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là các điểm trên cạnh $ BB' $, $ CC' $sao cho $ BM=3B'M $; $ CN=2C'N $. Tính khoảng cách từ điểm $ M $ đến mặt phẳng $ \left ( { A'BN } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ BC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -2.AB.ACcos \widehat { BAC } $ $ =1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } -2.1.2.cos120°=7 $. Suy ra $ BC=\sqrt[] { 7 } $.
Ta cũng có $ cos \widehat { ABC }=\frac { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } } { 2.AB.BC } $$ =\frac { 1 ^ { 2 } +\sqrt[] { 7 } ^ { 2 } -2 ^ { 2 } } { 2.1.\sqrt[] { 7 } }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } } $, suy ra $ cos \widehat { A'B'C' }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } } $.
Gọi $ D=BN∩B'C' $, suy ra $ \frac { DC' } { DB' }=\frac { C'N } { B'B }=\frac { 1 } { 3 } $, nên $ DB'=\frac { 3 } { 2 }B'C'=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 2 } $.
Từ đó, ta có
$ \left ( { A'D } \right ) ^ { 2 } =\left ( { A'B' } \right ) ^ { 2 } +\left ( { B'D } \right ) ^ { 2 } -2.A'B'.B'D.cos \widehat { A'B'D } $$ =1 ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -2.1.\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 2 }.\frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } }=\frac { 43 } { 4 } $.
Hay $ A'D=\frac { \sqrt[] { 43 } } { 2 } $.
Kẻ $ B'E⊥A'D $ và $ B'H⊥BE $, suy ra $ B'H⊥\left ( { A'BN } \right ) $, do đó $ d\left ( { B';\left ( { A'BN } \right ) } \right )=B'H $.
Từ $ cos \widehat { A'B'C' }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } }\Rightarrow sin \widehat { A'B'C' }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 7 } } $.
Do đó $ S_{ A'B'D } =\frac { 1 } { 2 }.A'B'.B'D.sin \widehat { A'B'D } $$ =\frac { 1 } { 2 }.1.\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 7 } }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
$ B'E=\frac { 2S_{ A'B'D } } { A'D }=\frac { 2.\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 4 } } { \frac { \sqrt[] { 43 } } { 2 } }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 43 } } $.
$ \frac { 1 } { B'H ^ { 2 } }=\frac { 1 } { B'E ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { BB' } \right ) ^ { 2 } } $$ =\frac { 1 } { \left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 43 } } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }=\frac { 46 } { 27 } $$ \Rightarrow B'H=\sqrt[] { \frac { 27 } { 46 } } $.
Từ $ BM=3B'M $suy ra
$ d\left ( { M;\left ( { A'BN } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 4 }d\left ( { B';\left ( { A'BN } \right ) } \right ) $$ =\frac { 3 } { 4 }.B'H=\frac { 3 } { 4 }.\sqrt[] { \frac { 27 } { 46 } }=\frac { 9\sqrt[] { 138 } } { 184 } $.