Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 2a $, mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $ h $ từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $.

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 2a $, mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $ h $ từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image363.png] Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Vì $ \Delta SAB $ đều nên $ SM⊥AB $ mà $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SAB } ight )⊥\left ( { ABCD } ight ) \ \left ( { SAB } ight )∩\left ( { ABCD } ight )=AB \end{array} ight. $$ \Rightarrow SM⊥\left ( { ABCD } ight ) $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ M $ lên $ SN $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CD⊥SM\,\,\,\,\left ( { do\,SM⊥\left ( { ABCD } ight )\, } ight ) \ CD⊥MN\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ \end{array} \end{array} ight. $ $ \Rightarrow CD⊥\left ( { SMN } ight ) $ $ \Rightarrow CD⊥MH $ mà $ SN⊥MH\Rightarrow MH⊥\left ( { SCD } ight ) $. Vì $ AB\,\parallel \,CD\Rightarrow AB\,\parallel \,\left ( { SCD } ight ) $ $ \Rightarrow h=d\left ( { A\,,\left ( { SCD } ight ) } ight )=d\left ( { AB\,,\,\left ( { SCD } ight ) } ight )=d\left ( { M\,,\,\left ( { SCD } ight ) } ight )=MH $ (vì $ M\in AB $). Mặt khác, ta có $ MN=2a $; $ \Delta SAB $ đều, cạnh bằng $ 2a $ nên đường cao $ SM=a\sqrt[] { 3 } $. Xét tam giác vuông $ \Delta SMN $ ta có:$ MH=\sqrt[] { \frac { SM ^ { 2 } .MN ^ { 2 } } { SM ^ { 2 } +MN ^ { 2 } } }=a\frac { 2\sqrt[] { 21 } } { 7 } $. Vậy $ h=d\left ( { A,\left ( { SCD } ight ) } ight )=\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $.

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 13