Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$.
a) Xác định vị trí điểm $P$ thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0$.
b) Chứng minh $C,G,P$ thẳng hàng.
c) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$.

Question

DẠNG 5. TẬP HỢP ĐIỂM Dạng 1: $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ $(1)$ ($A,B$ là hai điểm cố định). $-\quad k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$. $-\quad k e0$: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $(1)\Leftrightarrow(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=k\Leftrightarrow MI^2-IA^2=k\Leftrightarrow MI^2=k+\dfrac{AB^2}{4}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}>0\Leftrightarrow k>-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{k+\dfrac{AB^2}{4}}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}<0\Leftrightarrow k<-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là rỗng. Dạng 2: $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow v=k$ $(2)$ ($A$ cố định, $\overrightarrow v$ có hướng, độ dài xác định). $k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với giá của $\overrightarrow v$. $k e0$: Gọi $\overrightarrow{A'M'}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AM}$ trên giá của vectơ $\overrightarrow v$; ta có: $(2)\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M'}\cdot\overrightarrow v=k$ (định lí hình chiếu). $A'$ cố định $\Rightarrow M'$ cố định ($M'$ nằm trên giá của $\overrightarrow v$ định bởi $A'M'=\dfrac{k}{v}$). Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow v$ tại $M'$. [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image691.png] [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image692.png] Dạng 3: $\alpha MA^2+\beta MB^2=k$ $(3)$ ($A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số và $\alpha+\beta e0$). Gọi $I$ là điểm thỏa $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0\Rightarrow I$ là điểm cố định. $(3)\Leftrightarrow\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2+2(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB})\cdot\overrightarrow{MI}+\alpha IA^2+\beta IB^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2=k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)$ $\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}>0$: Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}=0\Leftrightarrow k=\alpha IA^2+\beta IB^2$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}<0$: Tập hợp điểm $M$ là rỗng. Chú ý: Để giải các bài toán thuộc loại trên, ta nên thu gọn biểu thức đã cho bằng cách sử dụng công thức thu gọn vectơ dưới đây: $-\quad$ Cho hai điểm $A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta e0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}$. $-\quad$ Cho ba điểm $A,B,C$ cố định, $\alpha,\beta,\chi$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta+\chi e0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}+\chi\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\chi\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\chi)\overrightarrow{MI}$. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. a) Xác định vị trí điểm $P$ thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0$. b) Chứng minh $C,G,P$ thẳng hàng. c) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Vì $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PI}$ nên $2\overrightarrow{PI}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{CP}=\dfrac13\overrightarrow{CI}$. Vậy $P$ là điểm trên đoạn $CI$ sao cho $CP=\dfrac13CI$. b) Theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{CG}=\dfrac23\overrightarrow{CI}$. Kết hợp với $\overrightarrow{CP}=\dfrac13\overrightarrow{CI}$ suy ra $C,P,G,I$ thẳng hàng. c) Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$. Do đó điều kiện tương đương với $6MP=2CI\Leftrightarrow MP=\dfrac{CI}{3}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $P$, bán kính $R=\dfrac{CI}{3}$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 57