Cho hình chóp $ S.ABC $có đáy là tam giác$ ABC $vuông tại $ A $, $ AB=4a $, $ AC=3a $, mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Biết tam giác $ SAB $ vuông tại S và $ \widehat { SBA }=30 ^ { { \rm{ o } } } $. Tính khoảng cách $ d $ từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ theo $ a $.

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình chóp $ S.ABC $có đáy là tam giác$ ABC $vuông tại $ A $, $ AB=4a $, $ AC=3a $, mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Biết tam giác $ SAB $ vuông tại S và $ \widehat { SBA }=30 ^ { { \rm{ o } } } $. Tính khoảng cách $ d $ từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ theo $ a $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image621.png] Trong mặt phẳng $ \left ( { SAB } ight ) $ kẻ $ SH $ vuông góc $ AB $ tại $ H $. Vì $ \left ( { SAB } ight )⊥\left ( { ABC } ight ) $ nên $ SH⊥\left ( { ABC } ight ) $. Ta có: $ d\left ( { A,\left ( { SBC } ight ) } ight )=\frac { AB } { HB }d\left ( { H,\left ( { SBC } ight ) } ight ) $. Trong tam giác $ ABC $ kẻ $ HI $ vuông góc BC tại $ I $. Trong tam giác $ SHI $ kẻ $ HK $ vuông góc $ SI $ tại $ K $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} SH⊥BC \ HI⊥BC \end{array} ight.\Rightarrow BC⊥\left ( { SHI } ight ) $. Nên $ BC⊥HK $. Mà $ HK⊥SI $ suy ra: $ HK⊥\left ( { SBC } ight ) $. Hay $ d\left ( { H,\left ( { SBC } ight ) } ight )=HK $. Ta có tam giác $ SAB $ vuông tại $ S $ nên: $ SA=AB.sin \widehat { SBA }=4a.sin30 ^ { { m{ o } } } =2a $ và $ SB=AB.cos \widehat { SBA }=4a.cos30 ^ { o } =2a\sqrt[] { 3 } $. Tam giác $ SHB $ vuông tại $ H $ nên $ HB=SB.cos \widehat { SBA }=2a\sqrt[] { 3 }.cos30 ^ { { m{ o } } } =3a $ và $ SH=SB.sin \widehat { SBA }=2a\sqrt[] { 3 }.sin30 ^ { { m{ o } } } =a\sqrt[] { 3 } $. Suy ra: $ d\left ( { A,\left ( { SBC } ight ) } ight )=\frac { AB } { HB }d\left ( { H,\left ( { SBC } ight ) } ight )=\frac { 4 } { 3 }HK. $ Ta có tam giác $ IBH $ đồng dạng với tam giác $ ABC $ nên: $ \frac { HI } { AC }=\frac { HB } { BC } $. Suy ra: $ HI=\frac { AC.HB } { BC }=\frac { 3a.3a } { \sqrt[] { 16a ^ { 2 } +9a ^ { 2 } } }=\frac { 9a } { 5 }. $ Ta có: $ \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }\Rightarrow HK=\frac { HI.SH } { \sqrt[] { HI ^ { 2 } +SH ^ { 2 } } }=\frac { \frac { 9a } { 5 }.a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { \frac { 81a ^ { 2 } } { 25 }+3a ^ { 2 } } }=\frac { 9\sqrt[] { 13 } } { 26 }a $ Vậy $ d\left ( { A,\left ( { SBC } ight ) } ight )=\frac { 4 } { 3 }HK=\frac { 6a\sqrt[] { 13 } } { 13 }. $

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 22