Bài tập nâng cao · Bài 23
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 23
Cho hình chóp $ SABC $ có đáy là tam giác cân tại $ A $ biết $ BC=a\sqrt[] { 3 } $. Tam giác $ SAB $ đều cạnh bằng $ a $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ G,G' $lần lượt là trọng tâm tam giác $ SAB $ và $ SBC $, Tính khoảng cách từ $ G $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAG' } \right ) $theo $ a $
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ H,M $lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $.
Vì $ \Delta SAB $ đều cạnh $ a $ và $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $ nên$ SH⊥\left ( { ABC } \right ),SH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Ta có: $ d_{ G,\left ( { SAG' } \right ) } =\frac { 2 } { 3 }d_{ H,\left ( { SAG' } \right ) } =\frac { 2 } { 3 }d_{ H,\left ( { SAM } \right ) } $vì $ \frac { GS } { HS }=\frac { 2 } { 3 } $.
Dựng $ HI⊥AM $. Ta có:$ \left \{ \begin{array}{l} AM⊥HI \\ AM⊥SH \end{array} \right.\Rightarrow AM⊥\left ( { SHI } \right )\Rightarrow AM⊥SI $.
Dựng $ HK⊥SI $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} HK⊥SI \\ HK⊥AM \end{array} \right.\Rightarrow HK⊥\left ( { SAM } \right ) $.
Suy ra:$ d_{ G,\left ( { SAG' } \right ) } =\frac { 2 } { 3 }d_{ H,\left ( { SAM } \right ) } =\frac { 2 } { 3 }HK $.
Vì $ \left \{ \begin{array}{l} HI⊥AM \\ BM⊥AM \end{array} \right.\Rightarrow HI\parallel BM $ và $ HI=\frac { 1 } { 2 }BM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
$ \Rightarrow \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 20 } { 3a ^ { 2 } } $.
$ \Rightarrow HK=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 }a $.
Vậy $ d_{ G,\left ( { SAG' } \right ) } =\frac { 2 } { 3 }d_{ H,\left ( { SAM } \right ) } =\frac { 2 } { 3 }HK=\frac { 2 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 }a=\frac { \sqrt[] { 15 } } { 15 }a $.