Bài tập nâng cao · Bài 24
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 24
Cho hình chóp $ S.ABCD $có $ SA=a,\,\,SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $, đáy $ ABCD $ là hình vuông. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AD,DC $, góc giữa $ \left ( { SBM } \right ) $ và mặt đáy là $ 45° $.Tính khoảng cách từ $ D $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBM } \right ) $?
Xem lời giải
Lời giải
+ Ta có:$ AM=DM\Rightarrow d\left ( { D,\left ( { SBM } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SBM } \right ) } \right ) $.
+ Gọi $ H $ là giao điểm của $ BM $ và $ AN $.
Ta có : $ \Delta ABM=\Delta DAN\,\,\left ( { c.g.c } \right )\Rightarrow \widehat { B_{ 1 } }= \widehat { A_{ 1 } } $. Mà$ \widehat { B_{ 1 } }+ \widehat { M_{ 1 } }=90 ^ { 0 } \Rightarrow \widehat { A_{ 1 } }+ \widehat { M_{ 1 } }=90 ^ { 0 } $.
Vậy $ BM⊥AN $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} BM⊥AN \\ BM⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SAN } \right )\Rightarrow BM⊥SH $.
Trong $ \left ( { SAH } \right ) $, dựng $ AI⊥SH $.
Lại có: $ BM⊥\left ( { SAN } \right )\,\Rightarrow BM⊥AI $. Suy ra:$ AI⊥\left ( { SBM } \right )\Rightarrow d\left ( { A,\left ( { SBM } \right ) } \right )=AI $.
+ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BM=\left ( { SBM } \right )∩\left ( { ABCD } \right ) \\ BM⊥SH \\ BM⊥AN \end{array} \right.\Rightarrow \widehat { \left ( { \left ( { SBM } \right ),\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { SH,AN } \right ) }= \widehat { SHA }=45° $
Suy ra : $ \Delta SAH $ vuông cân tại $ A $ có$ SA=AH=a\Rightarrow SH=a\sqrt[] { 2 } $.
$ \Rightarrow AI=\frac { 1 } { 2 }SH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy $ d\left ( { D,\left ( { SBM } \right ) } \right )=AI=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
+ Gọi $ H $ là giao điểm của $ BM $ và $ AN $.
Ta có : $ \Delta ABM=\Delta DAN\,\,\left ( { c.g.c } \right )\Rightarrow \widehat { B_{ 1 } }= \widehat { A_{ 1 } } $. Mà$ \widehat { B_{ 1 } }+ \widehat { M_{ 1 } }=90 ^ { 0 } \Rightarrow \widehat { A_{ 1 } }+ \widehat { M_{ 1 } }=90 ^ { 0 } $.
Vậy $ BM⊥AN $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} BM⊥AN \\ BM⊥SA \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SAN } \right )\Rightarrow BM⊥SH $.
Trong $ \left ( { SAH } \right ) $, dựng $ AI⊥SH $.
Lại có: $ BM⊥\left ( { SAN } \right )\,\Rightarrow BM⊥AI $. Suy ra:$ AI⊥\left ( { SBM } \right )\Rightarrow d\left ( { A,\left ( { SBM } \right ) } \right )=AI $.
+ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BM=\left ( { SBM } \right )∩\left ( { ABCD } \right ) \\ BM⊥SH \\ BM⊥AN \end{array} \right.\Rightarrow \widehat { \left ( { \left ( { SBM } \right ),\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { SH,AN } \right ) }= \widehat { SHA }=45° $
Suy ra : $ \Delta SAH $ vuông cân tại $ A $ có$ SA=AH=a\Rightarrow SH=a\sqrt[] { 2 } $.
$ \Rightarrow AI=\frac { 1 } { 2 }SH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy $ d\left ( { D,\left ( { SBM } \right ) } \right )=AI=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.