Bài tự luận · Bài 18
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 18
Một cửa hàng đồ điện dân dụng đã bán được 200 máy sấy tóc mỗi tháng với giá mỗi máy là 150 nghìn đồng. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng, đối với mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng.
a) Tìm hàm cầu và hàm doanh thu.
b) Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu để có doanh thu lớn nhất?
a) Tìm hàm cầu và hàm doanh thu.
b) Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu để có doanh thu lớn nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x$ là số lượng máy sấy tóc bán ra trong một tháng với giá là $p(x)$ (nghìn đồng), $x\geq200$.
a) Ta đã biết $p(200)=150$. Vì mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng, nên cho mỗi một chiếc máy sấy tóc bán thêm được thì giá phải giảm là $\frac{1}{20}\cdot5$. Khi đó số lượng máy sấy tóc bán ra $x\ (x\geq200)$, tăng thêm so với 200 chiếc là $x-200$ chiếc.
Do vậy hàm cầu: $p(x)=150-\frac{1}{20}\cdot5(x-200)=200-\frac{1}{4}x$.
Hàm doanh thu: $R(x)=x\cdot p(x)=200x-\frac{1}{4}x^2$.
b) Để tối đa hoá doanh thu, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm $R(x)$ với $x\geq200$.
Ta có $R'(x)=200-\frac{1}{2}x;\ R'(x)=0$ khi $x=400$. Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm bậc nhất của hàm số, ta thấy $R(400)=40000$ là giá trị lớn nhất của hàm doanh thu, đạt được khi $x=400$. Khi đó giá của một chiếc máy sấy tóc là $p(400)=100$ nghìn đồng. Tức là một chiếc máy sấy tóc giảm giá 50 nghìn đồng. Vậy để tối đa hoá doanh thu, cửa hàng nên giảm giá 50 nghìn đồng.
a) Ta đã biết $p(200)=150$. Vì mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng, nên cho mỗi một chiếc máy sấy tóc bán thêm được thì giá phải giảm là $\frac{1}{20}\cdot5$. Khi đó số lượng máy sấy tóc bán ra $x\ (x\geq200)$, tăng thêm so với 200 chiếc là $x-200$ chiếc.
Do vậy hàm cầu: $p(x)=150-\frac{1}{20}\cdot5(x-200)=200-\frac{1}{4}x$.
Hàm doanh thu: $R(x)=x\cdot p(x)=200x-\frac{1}{4}x^2$.
b) Để tối đa hoá doanh thu, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm $R(x)$ với $x\geq200$.
Ta có $R'(x)=200-\frac{1}{2}x;\ R'(x)=0$ khi $x=400$. Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm bậc nhất của hàm số, ta thấy $R(400)=40000$ là giá trị lớn nhất của hàm doanh thu, đạt được khi $x=400$. Khi đó giá của một chiếc máy sấy tóc là $p(400)=100$ nghìn đồng. Tức là một chiếc máy sấy tóc giảm giá 50 nghìn đồng. Vậy để tối đa hoá doanh thu, cửa hàng nên giảm giá 50 nghìn đồng.