Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 18
Một cửa hàng chuyên về cà phê, có sẵn 75 kg cà phê Colombia nguyên chất và 120 kg cà phê thương hiệu của cửa hàng. Những thứ này sẽ được pha thành các gói cà phê 1 kg như sau: Một gói tiêu chuẩn có chứa 250 g cà phê Colombia nguyên chất và 750 g cà phê thương hiệu; một gói cao cấp chứa 500 g cà phê Colombia nguyên chất và 500 g cà phê thương hiệu.
a) Gọi $x$ là số gói cà phê tiêu chuẩn và $y$ là số gói cà phê cao cấp, hãy viết hệ bất phương trình bậc nhất mô tả số lượng gói có thể có của mỗi loại.
b) Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất nhận được ở câu a và tìm các đỉnh của miền nghiệm.
c) Lợi nhuận của mỗi gói cà phê tiêu chuẩn là 30 nghìn đồng và của mỗi gói cà phê cao cấp là 40 nghìn đồng. Hỏi cần chuẩn bị bao nhiêu gói cà phê mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Giả sử rằng tất cả các gói cà phê đã chuẩn bị đều có thể bán được.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x\geq 0,y\geq 0\\250x+500y\leq 75000\\750x+500y\leq 120000\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\geq 0,y\geq 0\\x+2y\leq 300\\3x+2y\leq 480\end{array}\right.$
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tứ giác $OABC$ trong hình vẽ với $O(0;0),A(160;0),B(90;105),C(0;150)$.
c) Lợi nhuận thu được là $F(x;y)=30x+40y$ (nghìn đồng).
Tính giá trị của biểu thức $F(x;y)$ tại các đỉnh của tứ giác, ta được:
$F(0;0)=0;F(160;0)=4800;F(90;105)=6900;F(0;150)=6000$
Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 6900 nghìn đồng khi $x=90$ và $y=105$, tức là cần chuẩn bị 90 gói cà phê tiêu chuẩn và 105 gói cà phê cao cấp.
