Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 1
Một thương nhân sử dụng 120 triệu đồng tiền vốn để mua tối đa 8 tấn trái cây. Thương nhân đó thu mua hai loại trái cây là A với giá 12 triệu đồng/tấn và B với giá 20 triệu đồng/tấn. Lợi nhuận thương nhân đó thu được sau khi bán mỗi tấn hàng đối với loại A là 1,1 triệu đồng, đối với loại B là 1,5 triệu đồng. Thương nhân đó nên mua khối lượng bao nhiêu mỗi loại để thu được lợi nhuận cao nhất khi bán hết hàng đã thu mua?
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $x\geq 0; y\geq 0$.
Do tiền thu mua không vượt quá 120 triệu đồng nên $12x+20y\leq 120$ hay $3x+5y-30\leq 0$.
Do tổng khối lượng trái cây không vượt quá 8 tấn nên $x+y\leq 8$ hay $x+y-8\leq 0$.
Lợi nhuận đạt được là $P=1,1x+1,5y$.
b) Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:
$P=1,1x+1,5y\to \max$ với ràng buộc $\left\{ \begin{array}{l} 3x+5y-30\leq 0 \\ x+y-8\leq 0 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{array} \right.$
Tập phương án $\Omega$ của bài toán là miền tứ giác $OABC$ trên hình bên, trong đó $O(0;0), A(0;6), B(5;3), C(8;0)$.
Giá trị của $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0; P(0;6)=9; P(5;3)=10; P(8;0)=8,8$.
Từ đó, $\max_{\Omega}P=P(5;3)=10$.
Vậy thương nhân đó nên mua 5 tấn trái cây loại $A$, 3 tấn trái cây loại B để thu được lợi nhuận cao nhất khi bán hết hàng đã mua. Khi đó, lợi nhuận thu được là 10 triệu đồng.
a) Ta có: $x\geq 0; y\geq 0$.
Do tiền thu mua không vượt quá 120 triệu đồng nên $12x+20y\leq 120$ hay $3x+5y-30\leq 0$.
Do tổng khối lượng trái cây không vượt quá 8 tấn nên $x+y\leq 8$ hay $x+y-8\leq 0$.
Lợi nhuận đạt được là $P=1,1x+1,5y$.
b) Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:
$P=1,1x+1,5y\to \max$ với ràng buộc $\left\{ \begin{array}{l} 3x+5y-30\leq 0 \\ x+y-8\leq 0 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{array} \right.$
Tập phương án $\Omega$ của bài toán là miền tứ giác $OABC$ trên hình bên, trong đó $O(0;0), A(0;6), B(5;3), C(8;0)$.
Giá trị của $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0; P(0;6)=9; P(5;3)=10; P(8;0)=8,8$.
Từ đó, $\max_{\Omega}P=P(5;3)=10$.
Vậy thương nhân đó nên mua 5 tấn trái cây loại $A$, 3 tấn trái cây loại B để thu được lợi nhuận cao nhất khi bán hết hàng đã mua. Khi đó, lợi nhuận thu được là 10 triệu đồng.
