Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 1
Trên một cánh đồng rộng lớn, người ta dự định rào một đồng cỏ có dạng hình chữ nhật với diện tích $80000$ m² và tiếp giáp với một bờ sông thẳng (Hình).
Cần chọn các kích thước của đồng cỏ bằng bao nhiêu để độ dài của hàng rào cần dựng nhỏ nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ ($x,y>0$) là hai kích thước (tính theo m) của đồng cỏ.
Do đồng cỏ có diện tích $80000$ m² nên $xy=80000$, suy ra $y=\frac{80000}{x}$.
Tổng chiều dài (tính theo m) của hàng rào là
$f(x)=x+2y=x+2\cdot\frac{80000}{x}=x+\frac{160000}{x}$.
Xét hàm số $f(x)=x+\frac{160000}{x}$ trên $(0;+\infty)$.
Ta có: $f'(x)=1-\frac{160000}{x^2}$;
$f'(x)=0\Leftrightarrow 1-\frac{160000}{x^2}=0\Leftrightarrow x^2=160000\Leftrightarrow x=400$ (do $x>0$).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là 800, đạt được khi $x=400$.
Khi đó, $y=\frac{80000}{400}=200$.
Vậy để độ dài hàng rào cần dựng là nhỏ nhất, đồng cỏ cần có chiều dài 400 m và chiều rộng 200 m.
