Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 31
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-1;3;5)$, $B(2;6;-1)$, $C(-4;-12;5)$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z-5=0$. Điểm $M$ thuộc $(P)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó
$$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG},$$
nên $S=3MG$. Tọa độ trọng tâm là
$$G\left(\frac{-1+2-4}{3};\frac{3+6-12}{3};\frac{5-1+5}{3}\right)=G(-1;-1;3).$$
Vì thế $S$ nhỏ nhất khi $MG\perp(P)$. Ta có
$$MG=d(G,(P))=\frac{|-1+2(-1)-2\cdot3-5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{14}{3}.$$
Vậy $S_{\min}=3\cdot\frac{14}{3}=14$.
$$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG},$$
nên $S=3MG$. Tọa độ trọng tâm là
$$G\left(\frac{-1+2-4}{3};\frac{3+6-12}{3};\frac{5-1+5}{3}\right)=G(-1;-1;3).$$
Vì thế $S$ nhỏ nhất khi $MG\perp(P)$. Ta có
$$MG=d(G,(P))=\frac{|-1+2(-1)-2\cdot3-5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{14}{3}.$$
Vậy $S_{\min}=3\cdot\frac{14}{3}=14$.