Bài tập nâng cao · Bài 32
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 32
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-1;2;5)$, $B(3;-1;0)$, $C(-4;0;-2)$. Gọi $I$ là điểm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $|\vec{IA}-2\vec{IB}+3\vec{IC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P):4x+3y+2=0$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\vec{MA}-2\vec{MB}+3\vec{MC}=\vec 0$. Khi đó
$$\begin{cases}-1-a-2(3-a)+3(-4-a)=0,\\2-b-2(-1-b)+3(0-b)=0,\\5-c-2(0-c)+3(-2-c)=0,\end{cases}$$
suy ra $M\left(-\frac{19}{2};2;-\frac12\right)$. Ta có
$$|\vec{IA}-2\vec{IB}+3\vec{IC}|=|2\vec{IM}|=2IM.$$
Biểu thức nhỏ nhất khi $I$ là hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$, tức $I\left(-\frac{19}{2};2;0\right)$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là
$$d(I,(P))=\frac{|4(-19/2)+3\cdot2+2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=6.$$
$$\begin{cases}-1-a-2(3-a)+3(-4-a)=0,\\2-b-2(-1-b)+3(0-b)=0,\\5-c-2(0-c)+3(-2-c)=0,\end{cases}$$
suy ra $M\left(-\frac{19}{2};2;-\frac12\right)$. Ta có
$$|\vec{IA}-2\vec{IB}+3\vec{IC}|=|2\vec{IM}|=2IM.$$
Biểu thức nhỏ nhất khi $I$ là hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$, tức $I\left(-\frac{19}{2};2;0\right)$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là
$$d(I,(P))=\frac{|4(-19/2)+3\cdot2+2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=6.$$