Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 33
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(3;-2;2)$, $B(-2;2;0)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z-3=0$. Hai điểm $M,N$ thuộc $(P)$ và $MN=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $2AM^2+3BN^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên $(P)$. Ta có $AH=BK=3$, $H(1;-1;0)$, $K(0;1;2)$ và $HK=3$. Đặt $HM=t$. Vì $HM+MN+NK\ge HK=3$ và $MN=1$, suy ra $KN\ge2-t$. Do đó
$$2AM^2+3BN^2=2AH^2+2HM^2+3BK^2+3KN^2$$
$$\ge45+2t^2+3(2-t)^2\ge49{,}8.$$
Dấu bằng xảy ra khi $M,N$ cùng thuộc đoạn $HK$ theo thứ tự phù hợp. Vậy giá trị nhỏ nhất là $49{,}8$.
$$2AM^2+3BN^2=2AH^2+2HM^2+3BK^2+3KN^2$$
$$\ge45+2t^2+3(2-t)^2\ge49{,}8.$$
Dấu bằng xảy ra khi $M,N$ cùng thuộc đoạn $HK$ theo thứ tự phù hợp. Vậy giá trị nhỏ nhất là $49{,}8$.