Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(a;b;c)$, trong đó $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $5(a^2+b^2+c^2)=9(ab+2bc+ca)$. Biểu thức $Q=\dfrac{a}{b^2+c^2}-\dfrac{1}{(a+b+c)^3}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các trục $Ox,Oy,Oz$. Viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=b+c>0$. Ta có $b^2+c^2\ge\dfrac{t^2}{2}$ và $bc\le\dfrac{t^2}{4}$. Điều kiện đã cho tương đương
$$5a^2+5(b+c)^2-9a(b+c)=28bc,$$
nên $5a^2+5t^2-9at\le7t^2$, hay $(5a+t)(a-2t)\le0$. Vì thế $a\le2t$. Đồng thời $a+t\le3t$, do đó
$$Q=\frac{a}{b^2+c^2}-\frac1{(a+t)^3}\le\frac4t-\frac{1}{27t^3}=f(t).$$
Với $t>0$, $f'(t)=-\dfrac4{t^2}+\dfrac1{9t^4}=0$ khi $t=\dfrac16$. Bảng biến thiên:
Suy ra $Q_{\max}=16$, đạt được khi $a=\dfrac13$, $b=c=\dfrac1{12}$. Do đó
$$M\left(\frac13;0;0\right),\quad N\left(0;\frac1{12};0\right),\quad P\left(0;0;\frac1{12}\right).$$
Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ là
$$\frac{x}{1/3}+\frac{y}{1/12}+\frac{z}{1/12}=1,$$
hay $3x+12y+12z-1=0$.
