Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 35

Hai điểm $A,B$ nằm ở hai phía của $(Oxy)$. Gọi $A'$ đối xứng với $A$ qua $(Oxy)$, suy ra $A'(1;-3;4)$ và $AM=A'M$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $A',B$ lên $(Oxy)$. Khi đó $E(1;-3;0)$, $F(-2;1;0)$, $\vec{EF}=(-3;4;0)$ nên $EF=5$.
Dựng $K$ sao cho $\vec{BK}=\vec{NM}$, suy ra $BN=KM$. Do đó
$$|AM-BN|=|A'M-KM|\le A'K.$$
Ta tìm giá trị lớn nhất của $A'K$. Vì $MN$ nằm trên $(Oxy)$ và $BK\parallel MN$, nên $BK\parallel(Oxy)$. Suy ra $K$ nằm trên mặt phẳng chứa $B$, song song với $(Oxy)$. Mặt khác $BK=MN=2$, nên quỹ tích của $K$ là đường tròn tâm $B$, bán kính $2$ trên mặt phẳng đó.
Kẻ $BH\perp AA'$, suy ra $A'H=2$. Ta có
$$A'K^2=A'H^2+HK^2\le4+(HB+2)^2=4+(5+2)^2=53.$$
Dấu bằng xảy ra khi $B$ nằm giữa $H,K$. Vậy giá trị lớn nhất của $|AM-BN|$ là $\sqrt{53}$.