Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-3;2)$ và $B(-2;1;-4)$. Xét hai điểm $M,N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=4$. Tìm giá trị lớn nhất của $|AM-BN|$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $A$ và song song với $(Oxy)$, nên $(Q):z=2$. Gọi $B'(-2;1;4)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $(Oxy)$ và $B_1(-2;1;2)$ là hình chiếu của $B'$ lên $(Q)$.
Tịnh tiến $A$ theo vectơ $\overrightarrow{MN}$ được $A'$. Khi đó $AA'=MN=4$, $A'\in(Q)$ và $AM=A'N$; đồng thời $BN=B'N$. Vì vậy
$|AM-BN|=|A'N-B'N|\leq A'B'$.
Quỹ tích $A'$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $4$ trong $(Q)$. Ta có $AB_1=5$, nên $A'B_1$ lớn nhất bằng $AB_1+4=9$. Lại có $B'B_1=2$ và $B'B_1\perp(Q)$, do đó
$A'B'_{\max}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{85}$.
Dấu bằng đạt được với cấu hình thẳng hàng tương ứng.
Vậy giá trị lớn nhất là $\sqrt{85}$.
