Bài tập nâng cao · Bài 30
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 30
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(4;-2;6)$, $B(2;4;2)$ và $M\in(\alpha):x+2y-3z-7=0$. Khi tích $MA\cdot MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tọa độ của $M$ là gì?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $M(x;y;z)\in(\alpha)$. Ta có
$$\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(4-x)(2-x)+(-2-y)(4-y)+(6-z)(2-z)$$
$$=(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2-12.$$
Theo bất đẳng thức B.C.S.,
$$14[(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2]\ge[x+2y-3z+7]^2.$$
Do $x+2y-3z-7=0$, suy ra
$$(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2-12\ge2.$$
Dấu bằng xảy ra khi
$$\begin{cases}x+2y-3z-7=0,\\\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-4}{-3},\end{cases}$$
tương đương $M(4;3;1)$. Vậy tọa độ cần tìm là $(4;3;1)$.
$$\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(4-x)(2-x)+(-2-y)(4-y)+(6-z)(2-z)$$
$$=(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2-12.$$
Theo bất đẳng thức B.C.S.,
$$14[(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2]\ge[x+2y-3z+7]^2.$$
Do $x+2y-3z-7=0$, suy ra
$$(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2-12\ge2.$$
Dấu bằng xảy ra khi
$$\begin{cases}x+2y-3z-7=0,\\\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-4}{-3},\end{cases}$$
tương đương $M(4;3;1)$. Vậy tọa độ cần tìm là $(4;3;1)$.