Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 29
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-10;-5;8)$, $B(2;1;-1)$, $C(2;3;0)$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z-9=0$. Điểm $M$ thuộc $(P)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2+2MB^2+3MC^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I(x;y;z)$ thỏa mãn $\vec{IA}+2\vec{IB}+3\vec{IC}=\vec 0$. Từ
$$\begin{cases}(-10-x)+2(2-x)+3(2-x)=0,\\(-5-y)+2(1-y)+3(3-y)=0,\\(8-z)+2(-1-z)+3(-z)=0\end{cases}$$
suy ra $I(0;1;1)$. Với $M\in(P)$,
$$MA^2+2MB^2+3MC^2=6MI^2+IA^2+2IB^2+3IC^2=6MI^2+228.$$
Biểu thức nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Khi đó
$$MI=d(I,(P))=3,$$
nên giá trị nhỏ nhất là $6\cdot9+228=282$.
$$\begin{cases}(-10-x)+2(2-x)+3(2-x)=0,\\(-5-y)+2(1-y)+3(3-y)=0,\\(8-z)+2(-1-z)+3(-z)=0\end{cases}$$
suy ra $I(0;1;1)$. Với $M\in(P)$,
$$MA^2+2MB^2+3MC^2=6MI^2+IA^2+2IB^2+3IC^2=6MI^2+228.$$
Biểu thức nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Khi đó
$$MI=d(I,(P))=3,$$
nên giá trị nhỏ nhất là $6\cdot9+228=282$.