Bài tập nâng cao · Bài 28
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 28
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;-2;4)$, $B(-3;3;-1)$, $C(-1;-1;-1)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+8=0$. Điểm $M$ thuộc $(P)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=2MA^2+MB^2-MC^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ thỏa mãn $2\vec{IA}+\vec{IB}-\vec{IC}=\vec 0$. Khi đó
$$\vec{OI}=\vec{OA}+\frac12\vec{OB}-\frac12\vec{OC}=(1;0;4),$$
nên $I(1;0;4)$. Với $M\in(P)$,
$$T=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2=2MI^2+30.$$
Vì vậy $T$ nhỏ nhất khi $MI\perp(P)$. Ta có
$$MI=d(I,(P))=\frac{|2\cdot1-0+2\cdot4+8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=6.$$
Suy ra $T_{\min}=2\cdot6^2+30=102$.
$$\vec{OI}=\vec{OA}+\frac12\vec{OB}-\frac12\vec{OC}=(1;0;4),$$
nên $I(1;0;4)$. Với $M\in(P)$,
$$T=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2=2MI^2+30.$$
Vì vậy $T$ nhỏ nhất khi $MI\perp(P)$. Ta có
$$MI=d(I,(P))=\frac{|2\cdot1-0+2\cdot4+8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=6.$$
Suy ra $T_{\min}=2\cdot6^2+30=102$.