Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 27
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;-1)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P):2x+2y-z+2=0$. Giá trị nhỏ nhất của $3MA^2+2MB^2+MC^2$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $3\vec{IA}+2\vec{IB}+\vec{IC}=\vec 0$. Khi đó
$$x_I=\frac{3x_A+2x_B+x_C}{6}=-\frac16,\quad y_I=\frac{3y_A+2y_B+y_C}{6}=\frac13,\quad z_I=\frac{3z_A+2z_B+z_C}{6}=\frac13,$$
nên $I\left(-\frac16;\frac13;\frac13\right)$. Ta có
$$3MA^2+2MB^2+MC^2=3IA^2+2IB^2+IC^2+6IM^2,$$
vì $3\vec{IA}+2\vec{IB}+\vec{IC}=\vec 0$. Do đó biểu thức nhỏ nhất khi $IM$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Suy ra $M\left(-\frac{11}{18};-\frac19;\frac59\right)$ và
$$\min(3MA^2+2MB^2+MC^2)=\frac{61}{6}.$$
$$x_I=\frac{3x_A+2x_B+x_C}{6}=-\frac16,\quad y_I=\frac{3y_A+2y_B+y_C}{6}=\frac13,\quad z_I=\frac{3z_A+2z_B+z_C}{6}=\frac13,$$
nên $I\left(-\frac16;\frac13;\frac13\right)$. Ta có
$$3MA^2+2MB^2+MC^2=3IA^2+2IB^2+IC^2+6IM^2,$$
vì $3\vec{IA}+2\vec{IB}+\vec{IC}=\vec 0$. Do đó biểu thức nhỏ nhất khi $IM$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Suy ra $M\left(-\frac{11}{18};-\frac19;\frac59\right)$ và
$$\min(3MA^2+2MB^2+MC^2)=\frac{61}{6}.$$