Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 26
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;4;5)$, $B(3;4;0)$, $C(2;-1;0)$ và $(P):3x+3y-2z-29=0$. Điểm $M(a;b;c)\in(P)$ sao cho $T=MA^2+MB^2+3MC^2$ nhỏ nhất. Tính $a+b+c$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ thỏa $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Khi đó
$\overrightarrow{OI}=\frac15\overrightarrow{OA}+\frac15\overrightarrow{OB}+\frac35\overrightarrow{OC}=(2;1;1)$,
nên $I(2;1;1)$. Theo tính chất tâm tỉ cự,
$T=5MI^2+IA^2+IB^2+3IC^2$.
Vì phần sau là hằng số, $T$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Đường thẳng qua $I$ theo pháp tuyến $(3;3;-2)$ kết hợp với $M\in(P)$ cho
$\begin{cases}3a+3b-2c=29,\\(a-2)/3=(b-1)/3=(c-1)/(-2),\end{cases}$
suy ra $M(5;4;-1)$. Vậy $a+b+c=8$.
$\overrightarrow{OI}=\frac15\overrightarrow{OA}+\frac15\overrightarrow{OB}+\frac35\overrightarrow{OC}=(2;1;1)$,
nên $I(2;1;1)$. Theo tính chất tâm tỉ cự,
$T=5MI^2+IA^2+IB^2+3IC^2$.
Vì phần sau là hằng số, $T$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Đường thẳng qua $I$ theo pháp tuyến $(3;3;-2)$ kết hợp với $M\in(P)$ cho
$\begin{cases}3a+3b-2c=29,\\(a-2)/3=(b-1)/3=(c-1)/(-2),\end{cases}$
suy ra $M(5;4;-1)$. Vậy $a+b+c=8$.