Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 25
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;1;1)$, $B(-1;2;0)$, $C(3;-1;2)$ và $M\in(\alpha):2x-y+2z+7=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}|$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ thỏa $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Khi đó $\overrightarrow{OI}=3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}-7\overrightarrow{OC}$, suy ra $I(-23;20;-11)$. Ta có
$3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{IM}$,
nên $P=IM\ge d(I,(\alpha))$. Vì vậy
$P_{\min}=\dfrac{|2(-23)-20+2(-11)+7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=27$.
$3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{IM}$,
nên $P=IM\ge d(I,(\alpha))$. Vì vậy
$P_{\min}=\dfrac{|2(-23)-20+2(-11)+7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=27$.